11. 非线性系统现象与分析方法
11.1 为什么需要非线性理论？
11.1.1 线性控制的局限性
在实际工程中，所有物理系统本质上都是非线性的。线性模型只是在工作点附近的近似。当系统远离平衡点或包含本质非线性环节时，线性理论可能失效：
- 大范围运动：机器人大角度运动、飞行器大机动飞行
- 本质非线性环节：饱和、死区、摩擦、滞环
- 非线性现象：极限环、分岔、混沌
- 高性能要求：需要充分利用系统非线性特性
11.1.2 线性与非线性系统的根本区别
| 特性 | 线性系统 | 非线性系统 |
|---|---|---|
| 叠加原理 | 成立 | 不成立 |
| 平衡点 | 唯一（或无穷多） | 可能有多个孤立平衡点 |
| 稳定性 | 全局性（整个状态空间） | 通常是局部的 |
| 响应特性 | 与初始条件无关的比例关系 | 强烈依赖初始条件 |
| 振荡 | 正弦输入产生同频正弦输出 | 可能产生谐波、次谐波、极限环 |
| 混沌 | 不存在 | 确定性系统可产生随机行为 |
11.2 典型非线性现象
11.2.1 多个平衡点与吸引域
例如在摆系统中，
$$\ddot{\theta} + \frac{g}{l}\sin\theta = 0 $$
平衡点：
- 稳定：$\theta = 0, \pm 2\pi, \pm 4\pi, \dots$（下垂位置）
- 不稳定：$\theta = \pm \pi, \pm 3\pi, \dots$（倒立位置）
吸引域：每个稳定平衡点周围有一个区域，从该区域出发的轨迹最终收敛到这个平衡点。
11.2.2 极限环
定义：非线性系统中的孤立周期解，相邻轨迹要么趋近它，要么远离它。
范德波尔振荡器（经典例子）：
$$\ddot{x} + \mu(x^2 - 1)\dot{x} + x = 0, \quad \mu > 0 $$
特点：
- 对所有初始条件，系统最终趋向于同一周期振荡
- 振幅由非线性特性决定，与初始条件无关
- 常见于电子振荡器、生物节律、心跳模型
11.2.3 跳跃共振与滞后
杜芬方程（非线性弹簧）：
$$\ddot{x} + \delta\dot{x} + \alpha x + \beta x^3 = F\cos\omega t $$
频率响应特性：
- 跳跃现象：缓慢增加频率时，振幅在某点突然下降
- 滞后：增加和减少频率的响应曲线不重合
- 原因：非线性刚度导致共振频率依赖振幅
11.2.4 分岔
定义：当系统参数变化通过临界值时，系统定性行为发生突变。
常见分岔类型：
- 鞍结分岔：稳定和不稳定平衡点相遇并消失
- 叉式分岔：一个平衡点分裂为三个（如压杆屈曲）
- 霍普夫分岔：平衡点失稳，产生极限环
例子：
$$\dot{x} = \mu x - x^3 $$
- $\mu < 0$：唯一稳定平衡点 $x=0$
- $\mu > 0$：$x=0$ 不稳定，两个稳定平衡点 $x = \pm\sqrt{\mu}$
11.2.5 混沌
定义：确定性非线性系统中出现的看似随机的、对初始条件极端敏感的行为。
洛伦兹系统（混沌的经典例子）：
$$\begin{aligned} \dot{x} &= \sigma(y - x) \\ \dot{y} &= x(\rho - z) - y \\ \dot{z} &= xy - \beta z \end{aligned} $$
混沌的特征：
- 对初值敏感依赖：“蝴蝶效应”
- 长期不可预测：尽管系统是确定性的
- 奇怪吸引子：相空间中的分形结构
11.3 非线性系统的数学描述
11.3.1 状态空间模型
一般形式（时不变）：
$$\dot{x} = f(x, u), \quad y = h(x, u) $$
其中 $f: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$ 是非线性函数。
自治系统（无外部输入）：
$$\dot{x} = f(x) $$
11.3.2 常见非线性环节
| 环节 | 数学描述 | 物理实例 |
|---|---|---|
| 饱和 | $y = \text{sat}(u) = \begin{cases} M & u > M \\ u & |u| \leq M \\ -M & u < -M \end{cases}$ | 放大器限幅、执行器行程限制 |
| 死区 | $y = \begin{cases} u - \delta & u > \delta \\ 0 & |u| \leq \delta \\ u + \delta & u < -\delta \end{cases}$ | 液压阀重叠、齿轮间隙 |
| 滞环 | 多值映射，依赖历史 | 磁性材料、机械摩擦 |
| 继电特性 | $y = M \cdot \text{sign}(u)$ | 开关控制、bang-bang控制 |
| 摩擦 | 复杂的速度-力关系 | 机械系统 |
11.4 非线性系统的分析方法
11.4.1 相平面分析（二阶系统）
基本思想：在 $(x_1, x_2)$ 平面上绘制轨迹，直观展示系统行为。
关键要素：
- 平衡点：$f_1(x)=0$ 且 $f_2(x)=0$ 的点
- 轨迹方向：由向量场 $(f_1, f_2)$ 确定
- 等倾线：$\frac{dx_2}{dx_1} = \text{常数}$ 的曲线
应用：
- 确定平衡点类型（节点、焦点、鞍点、中心）
- 估计吸引域
- 检测极限环
例子：非线性摆
$$\ddot{\theta} + \sin\theta = 0 $$
相图显示：小角度时为中心（近似线性），大角度时有分界线（异宿轨道）。
11.4.2 描述函数法（频域近似）
基本思想：用等效增益近似非线性环节在正弦输入下的行为。
描述函数定义：
$$N(A, \omega) = \frac{\text{输出基波分量（复数）}}{\text{输入正弦幅值}} $$
应用条件：
- 非线性是时不变的
- 非线性是奇对称的（避免直流分量）
- 线性部分具有低通滤波特性（过滤高次谐波）
常见非线性描述函数：
| 非线性 | 描述函数 $N(A)$ |
|---|---|
| 理想继电 | $\frac{4M}{\pi A}$ |
| 饱和 | $\frac{2}{\pi}\left[\arcsin\left(\frac{a}{A}\right) + \frac{a}{A}\sqrt{1-\left(\frac{a}{A}\right)^2}\right]$，$A \geq a$ |
| 死区 | $1 - \frac{2}{\pi}\left[\arcsin\left(\frac{\delta}{A}\right) + \frac{\delta}{A}\sqrt{1-\left(\frac{\delta}{A}\right)^2}\right]$，$A \geq \delta$ |
| 滞环 | $\frac{4M}{\pi A}\sqrt{1-\left(\frac{h}{A}\right)^2} - j\frac{4Mh}{\pi A^2}$，$A \geq h$ |
极限环预测：求解
$$1 + N(A, \omega)G(j\omega) = 0 $$
即 $G(j\omega) = -\frac{1}{N(A, \omega)}$。在复平面上，交点对应可能的极限环。
11.4.3 线性化方法
雅可比线性化：在平衡点 $x_e$ 附近，有：
$$\dot{x} \approx A(x - x_e) + B(u - u_e) $$
其中：
$$A = \left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{x_e, u_e}, \quad B = \left.\frac{\partial f}{\partial u}\right|_{x_e, u_e} $$
局限性：
- 只适用于平衡点附近的小范围
- 无法预测极限环、分岔等非线性现象
- 当 $A$ 有零实部特征值时，线性化无法判断稳定性
哈特曼-格罗布曼定理：若线性化系统在平衡点无零实部特征值（双曲平衡点），则非线性系统在平衡点附近的局部行为与线性化系统拓扑等价。
11.4.4 李雅普诺夫直接法
这是最强大的非线性系统分析方法，将在第12章详细展开。
基本思想：构造"能量"函数 $V(x)$，通过其变化趋势判断稳定性。
11.5 数值仿真方法
11.5.1 数值积分
对于 $\dot{x} = f(x, t)$，常用方法：
| 方法 | 公式 | 精度 | 稳定性 |
|---|---|---|---|
| 欧拉法 | $x_{k+1} = x_k + h f(x_k, t_k)$ | $O(h)$ | 条件稳定 |
| 改进欧拉 | $x_{k+1} = x_k + \frac{h}{2}(f_k + f_{k+1}^*)$ | $O(h^2)$ | 较好 |
| 四阶龙格-库塔 | 经典RK4 | $O(h^4)$ | 很好 |
| 变步长方法 | 如ode45 | 自适应 | 鲁棒 |
11.5.2 MATLAB实现
1 | % 定义系统 |
11.5.3 注意事项
- 数值稳定性：步长选择至关重要
- 长时间仿真：误差累积可能改变定性行为
- 混沌系统：对数值误差极度敏感
- 多尺度问题：刚性系统需要特殊方法
11.6 工程案例分析
11.6.1 倒立摆系统
模型：
$$\ddot{\theta} = \frac{g}{l}\sin\theta - \frac{k}{m}\dot{\theta} + \frac{1}{ml^2}\tau $$
非线性特性：
- 多个平衡点（下垂稳定，倒立不稳定）
- 大角度时线性化失效
- 能量控制可实现摆起
11.6.2 磁悬浮系统
模型：
$$m\ddot{y} = mg - \frac{ki^2}{y^2} $$
非线性特性：
- 力与电流平方成正比
- 力与距离平方成反比
- 本质不稳定，需要反馈控制
11.6.3 机器人操作臂
模型（多变量）：
$$M(q)\ddot{q} + C(q, \dot{q})\dot{q} + G(q) = \tau $$
非线性来源：
- 惯性矩阵 $M(q)$ 与位形相关
- 科里奥利力 $C(q, \dot{q})$ 与速度平方相关
- 重力项 $G(q)$ 非线性
12. 李雅普诺夫稳定性设计
12.1 李雅普诺夫稳定性概念回顾
12.1.1 基本定义
考虑自治系统 $\dot{x} = f(x)$，$f(0)=0$（平衡点在原点，可通过坐标变换实现）。
定义（按强弱顺序）：
-
稳定（李雅普诺夫稳定）：对于任意 $\epsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得若 $\|x(0)\| < \delta$，则对所有 $t \geq 0$ 有 $\|x(t)\| < \epsilon$。
直观：从附近出发的轨迹始终保持在附近。 -
渐近稳定：系统稳定，且存在 $\delta > 0$，使得若 $\|x(0)\| < \delta$，则 $\lim_{t \to \infty} x(t) = 0$。
直观：从附近出发的轨迹最终趋向平衡点。 -
全局渐近稳定：对任意初始状态，$\lim_{t \to \infty} x(t) = 0$。
直观：从任何地方出发的轨迹都趋向平衡点。 -
指数稳定：存在 $\alpha, \beta, \delta > 0$，使得若 $\|x(0)\| < \delta$，则 $\|x(t)\| \leq \alpha\|x(0)\| e^{-\beta t}$。
直观：以指数速率收敛。
12.1.2 李雅普诺夫直接法
核心思想：构造一个"能量"函数 $V(x)$，通过其沿系统轨迹的变化率判断稳定性。
函数类定义：
- 正定函数：$V(0) = 0$，且 $x \neq 0$ 时 $V(x) > 0$
- 径向无界：$\|x\| \to \infty \Rightarrow V(x) \to \infty$
- 负定函数：$-V(x)$ 正定
李雅普诺夫稳定性定理：
| 条件 | 结论 |
|---|---|
| $V > 0$，$\dot{V} \leq 0$ | 稳定 |
| $V > 0$，$\dot{V} < 0$（$x \neq 0$） | 渐近稳定 |
| 上述 + $V$ 径向无界 | 全局渐近稳定 |
| 存在 $k_1|x|^a \leq V(x) \leq k_2|x|^a$，$\dot{V} \leq -k_3|x|^a$ | 指数稳定 |
拉萨尔不变性原理（扩展）：若 $V > 0$，$\dot{V} \leq 0$，令 $E = \{x \mid \dot{V}(x) = 0\}$，$M$ 是 $E$ 内的最大不变集，则所有有界轨迹收敛到 $M$。
可用于分析 $\dot{V}$ 半负定的情况。
12.2 李雅普诺夫函数的构造方法
12.2.1 线性系统的二次型
对于 $\dot{x} = Ax$，取 $V(x) = x^T P x$，$P = P^T > 0$，则：
$$\dot{V}(x) = x^T (A^T P + P A) x = -x^T Q x $$
若 $A$ 稳定，对任意 $Q > 0$，李雅普诺夫方程 $A^T P + P A = -Q$ 有唯一解 $P > 0$。
12.2.2 变量梯度法
思路：假设 $\dot{V} = (\nabla V)^T f(x)$ 已知形式，反推 $V$。
步骤：
- 假设 $\nabla V = \begin{bmatrix} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 \end{bmatrix}$（线性梯度）
- 旋度条件：$\frac{\partial}{\partial x_2}(\nabla V_1) = \frac{\partial}{\partial x_1}(\nabla V_2)$
- 选择参数使 $\dot{V}$ 负定
- 积分得 $V(x) = \int \nabla V \cdot dx$
12.2.3 克拉索夫斯基方法
对于系统 $\dot{x} = f(x)$，取：
$$V(x) = f(x)^T P f(x), \quad P > 0 $$
则：
$$\dot{V}(x) = f(x)^T (J_f^T P + P J_f) f(x) $$
其中 $J_f = \frac{\partial f}{\partial x}$。
若 $J_f^T P + P J_f$ 负定，则系统渐近稳定。
12.2.4 能量函数法（物理系统）
对于机械系统，自然取：
$$V = \text{动能} + \text{势能} $$
例子如，在一个摆系统中，
$$V = \frac{1}{2}ml^2\dot{\theta}^2 + mgl(1 - \cos\theta) $$
沿系统轨迹（无阻尼）：
$$\dot{V} = 0 \quad \text{（能量守恒）} $$
有阻尼时：
$$\dot{V} = -b\dot{\theta}^2 \leq 0 $$
12.3 李雅普诺夫稳定性设计
12.3.1 控制李雅普诺夫函数（CLF）
定义：对于控制系统 $\dot{x} = f(x) + g(x)u$，若存在正定、径向无界的光滑函数 $V(x)$，使得：
$$\inf_{u} \left\{ \frac{\partial V}{\partial x} [f(x) + g(x)u] \right\} < 0, \quad \forall x \neq 0 $$
则 $V(x)$ 称为控制李雅普诺夫函数。
Sontag公式（构造性控制器）：
$$u(x) = -\frac{\frac{\partial V}{\partial x} f(x) + \sqrt{\left(\frac{\partial V}{\partial x} f(x)\right)^2 + \left\|\frac{\partial V}{\partial x} g(x)\right\|^4}}{\left\|\frac{\partial V}{\partial x} g(x)\right\|^2} \left(\frac{\partial V}{\partial x} g(x)\right)^T $$
12.3.2 反步法（Backstepping）
基本思想：对具有下三角结构的系统，从内到外逐步设计。
考虑系统：
$$\begin{aligned} \dot{x}_1 &= f_1(x_1) + g_1(x_1)x_2 \\ \dot{x}_2 &= f_2(x_1, x_2) + g_2(x_1, x_2)u \end{aligned} $$
设计步骤：
Step 1：将 $x_2$ 看作虚拟控制，设计 $\alpha_1(x_1)$ 使子系统稳定。
- 取 $z_1 = x_1$，设计李雅普诺夫函数 $V_1(z_1)$
- 期望 $x_2 = \alpha_1(x_1)$ 使 $\dot{V}_1$ 负定
- 定义误差 $z_2 = x_2 - \alpha_1(x_1)$
Step 2：考虑增广系统，设计 $u$ 使整个系统稳定。
- 取 $V_2(z_1, z_2) = V_1(z_1) + \frac{1}{2}z_2^2$
- 计算 $\dot{V}_2$，设计 $u$ 使其负定
优点：系统化步骤，避免求解HJB方程。
12.3.3 例子：倒立摆的稳定控制
系统模型：
$$\begin{aligned} \dot{x}_1 &= x_2 \\ \dot{x}_2 &= \sin x_1 + u \end{aligned} $$
反步法设计：
Step 1：将 $x_2$ 作为虚拟控制，设计 $\alpha_1(x_1)$
- 取 $V_1 = \frac{1}{2}x_1^2$
- $\dot{V}_1 = x_1 x_2$
- 期望 $x_2 = \alpha_1 = -x_1$，则 $\dot{V}_1 = -x_1^2 < 0$
- 定义 $z_2 = x_2 - \alpha_1 = x_2 + x_1$
Step 2：增广系统
- $z_1 = x_1$，$z_2 = x_2 + x_1$
- 变换后系统：
$$\begin{aligned} \dot{z}_1 &= z_2 - z_1 \\ \dot{z}_2 &= \sin z_1 + u + (z_2 - z_1) \end{aligned} $$
- 取 $V_2 = \frac{1}{2}z_1^2 + \frac{1}{2}z_2^2$
- 设计 $u = -\sin z_1 - z_2 - (z_2 - z_1) - z_1$，则 $\dot{V}_2 = -z_1^2 - z_2^2 < 0$
最终控制器：$u = -\sin x_1 - 2x_1 - 2x_2$
12.4 吸引域估计
12.4.1 吸引域的概念
对于局部渐近稳定系统，吸引域是所有初始状态中能使轨迹收敛到平衡点的集合。
12.4.2 估计方法
方法一：李雅普诺夫函数水平集
若存在李雅普诺夫函数 $V(x)$ 使得 $\dot{V}(x) < 0$ 在区域 $\Omega_c = \{x \mid V(x) \leq c\}$ 内成立，则 $\Omega_c$ 是吸引域的一个子集。
方法二：逆向轨迹法（数值方法）
从平衡点附近出发，逆向积分系统，得到吸引域边界。
方法三：SOS优化（多项式系统）
使用平方和规划求最大 $c$ 使 $\dot{V}(x) < 0$ 在 $\Omega_c$ 内成立。
12.5 李雅普诺夫稳定性设计进阶
12.5.1 鲁棒控制李雅普诺夫函数
考虑不确定系统 $\dot{x} = f(x) + g(x)u + \Delta(x)$，其中 $\|\Delta(x)\| \leq \rho(x)$。
设计目标：寻找控制使系统对所有可能的 $\Delta$ 稳定。
min-max 方法：
$$u(x) = \arg\min_{u} \max_{\Delta \in \mathcal{D}} \left\{ \frac{\partial V}{\partial x} [f(x) + g(x)u + \Delta] \right\} $$
12.5.2 自适应控制李雅普诺夫设计
考虑参数不确定系统 $\dot{x} = f(x) + g(x)u + Y(x)\theta$，其中 $\theta$ 是未知参数。
设计控制器和参数自适应律：
$$\begin{aligned} u &= \alpha(x, \hat{\theta}) \\ \dot{\hat{\theta}} &= \tau(x, \hat{\theta}) \end{aligned} $$
常用方法：
- 李雅普诺夫重设计：构造增广李雅普诺夫函数 $V(x, \tilde{\theta}) = V_x(x) + \frac{1}{2}\tilde{\theta}^T \Gamma^{-1} \tilde{\theta}$
- 确保 $\dot{V}$ 负定，同时得到参数更新律
12.5.3 基于优化的李雅普诺夫设计
对于复杂系统，可将李雅普诺夫函数和控制器参数化为特定形式（如多项式），通过优化求解：
SOS规划：
$$\begin{aligned} \text{Find } & V(x), u(x) \\ \text{s.t. } & V(0) = 0, \quad V(x) - \epsilon\|x\|^2 \in \text{SOS} \\ & -\frac{\partial V}{\partial x}[f(x) + g(x)u(x)] \in \text{SOS} \end{aligned} $$
13. 反馈线性化
13.1 反馈线性化的基本思想
13.1.1 从线性化到反馈线性化
雅可比线性化：在工作点附近用线性近似，适用于小范围。
反馈线性化：通过非线性反馈和非线性坐标变换，精确地将非线性系统转化为线性系统，适用于整个状态空间（或至少大范围）。
核心思想：用非线性控制抵消系统非线性，使闭环系统呈线性。
13.1.2 基本概念
考虑仿射非线性系统：
$$\dot{x} = f(x) + g(x)u $$
其中 $f$ 和 $g$ 是光滑向量场。
目标：找到反馈控制 $u = \alpha(x) + \beta(x)v$ 和坐标变换 $z = \Phi(x)$，使得在新坐标下系统是线性的：
$$\dot{z} = A z + B v $$
13.2 输入-输出线性化
13.2.1 相对阶的概念
考虑系统：
$$\begin{aligned} \dot{x} &= f(x) + g(x)u \\ y &= h(x) \end{aligned} $$
定义：系统在点 $x_0$ 处的相对阶 $r$ 是满足以下条件的最小整数：
- $L_g L_f^k h(x) = 0$ 对所有 $k < r-1$ 和 $x$ 在 $x_0$ 附近成立
- $L_g L_f^{r-1} h(x_0) \neq 0$
其中 $L_f h = \frac{\partial h}{\partial x} f$ 是李导数。
物理意义：输出 $y$ 对输入 $u$ 的响应需要微分 $r$ 次才显式出现 $u$。
13.2.2 输入-输出线性化控制
若相对阶 $r$ 有限，则：
$$y^{(r)} = L_f^r h(x) + L_g L_f^{r-1} h(x) \cdot u $$
选择控制：
$$u = \frac{1}{L_g L_f^{r-1} h(x)} \left( v - L_f^r h(x) \right) $$
得到线性关系：
$$y^{(r)} = v $$
例子：
- $r=1$：$\dot{y} = v$，一阶系统
- $r=2$：$\ddot{y} = v$，二阶系统
13.2.3 内动态与零动态
当相对阶 $r < n$ 时，存在 $n-r$ 维不可观状态，称为内动态。
零动态：当输出恒为零时，系统的内动态称为零动态。
最小相位系统：零动态稳定。
控制设计：需要确保内动态稳定，否则反馈线性化无效。
13.2.4 例子：磁悬浮系统
模型：
$$\begin{aligned} \dot{x}_1 &= x_2 \\ \dot{x}_2 &= g - \frac{k}{m} \frac{u^2}{x_1^2} \\ y &= x_1 \end{aligned} $$
相对阶计算：
- $L_g h = 0$（$h$ 不依赖 $u$）
- $L_g L_f h = \frac{\partial x_2}{\partial u} = 0$？需要仔细计算
实际相对阶 $r = 2$，因为：
$$\ddot{y} = g - \frac{k}{m} \frac{u^2}{x_1^2} - \frac{2k}{m} \frac{u \dot{u} x_1^2 - u^2 \cdot 2x_1 x_2}{x_1^4}? $$
更好的处理：令 $u = \sqrt{w}$，则：
$$\ddot{y} = g - \frac{k}{m} \frac{w}{x_1^2} $$
相对阶为2，设计 $w$ 使 $\ddot{y} = v$。
13.3 输入-状态线性化
13.3.1 问题描述
寻找坐标变换 $z = \Phi(x)$ 和反馈 $u = \alpha(x) + \beta(x)v$，使系统变为：
$$\dot{z} = A_c z + B_c v $$
其中 $(A_c, B_c)$ 是能控标准型。
13.3.2 可反馈线性化的条件
定理：系统 $\dot{x} = f(x) + g(x)u$ 在区域上可通过坐标变换和反馈线性化的充要条件是：
- 能控性分布条件：分布 $\mathcal{D} = \text{span}\{g, ad_f g, \dots, ad_f^{n-1} g\}$ 在区域上维数为 $n$（对合条件）
- 对合性条件：分布 $\mathcal{G} = \text{span}\{g, ad_f g, \dots, ad_f^{n-2} g\}$ 对合
其中 $ad_f g = [f, g] = \frac{\partial g}{\partial x} f - \frac{\partial f}{\partial x} g$ 是李括号。
13.3.3 设计步骤
步骤1：求解一阶偏微分方程
$$\frac{\partial \lambda}{\partial x} \cdot ad_f^k g = 0, \quad k = 0, 1, \dots, n-2 $$
得到 $\lambda(x)$。
步骤2：定义新坐标
$$z_1 = \lambda(x), \quad z_2 = L_f \lambda(x), \quad \dots, \quad z_n = L_f^{n-1} \lambda(x) $$
步骤3：计算变换后的系统
$$\begin{aligned} \dot{z}_1 &= z_2 \\ \dot{z}_2 &= z_3 \\ &\vdots \\ \dot{z}_n &= L_f^n \lambda(x) + L_g L_f^{n-1} \lambda(x) \cdot u \end{aligned} $$
步骤4：设计反馈
$$u = \frac{1}{L_g L_f^{n-1} \lambda} (v - L_f^n \lambda) $$
得到：
$$\dot{z} = A_c z + B_c v $$
13.4 反馈线性化的局限性
13.4.1 模型精确性要求
反馈线性化需要精确的数学模型：
- 参数误差导致不完全抵消
- 未建模动态可能导致不稳定
13.4.2 鲁棒性问题
精确抵消可能放大某些动态：
- 对高频未建模动态敏感
- 需要结合鲁棒控制
13.4.3 控制奇异性
当 $L_g L_f^{r-1} h(x) = 0$ 时，控制律失效：
- 需避免进入奇异区域
- 或使用混合控制策略
13.4.4 零动态不稳定
若零动态不稳定，反馈线性化无效：
- 需先稳定零动态
- 或使用其他方法
13.5 反馈线性化与其他方法的结合
13.5.1 鲁棒反馈线性化
结合滑模控制处理不确定性和扰动：
$$u = u_{\text{FL}} + u_{\text{SM}} $$
13.5.2 自适应反馈线性化
在线估计参数，更新反馈线性化控制：
$$u = \frac{1}{\hat{L}_g L_f^{r-1} h} (v - \hat{L}_f^r h) $$
13.5.3 基于观测器的反馈线性化
当部分状态不可测时，结合非线性观测器：
- 高增益观测器
- 滑模观测器
14. 自适应与鲁棒控制（滑模等）
14.1 滑模控制（Sliding Mode Control）
14.1.1 基本思想
核心概念：设计一个滑模面 $s(x) = 0$，使系统状态在滑模面上具有期望的动态，然后设计控制使状态到达并维持在滑模面上。
滑模控制的两阶段：
- 到达阶段：从任意初始状态驱动到滑模面
- 滑动阶段：沿滑模面运动到平衡点
14.1.2 滑模面设计
对于 $n$ 阶系统，通常取：
$$s(x) = \left(\frac{d}{dt} + \lambda\right)^{n-1} e, \quad \lambda > 0 $$
其中 $e$ 是跟踪误差。
例子：二阶系统，取 $s = \dot{e} + \lambda e$。在滑模面 $s=0$ 上，$\dot{e} = -\lambda e$，误差指数收敛。
14.1.3 控制律设计
等效控制：当在滑模面上时，$\dot{s} = 0$，解得：
$$u_{\text{eq}} = -\left(\frac{\partial s}{\partial x} g\right)^{-1} \frac{\partial s}{\partial x} f $$
到达控制：保证到达滑模面，通常取：
$$u = u_{\text{eq}} - k \cdot \text{sign}(s) $$
完整控制律：
$$u = u_{\text{eq}} - k \cdot \text{sign}(s) $$
14.1.4 李雅普诺夫分析
取 $V = \frac{1}{2}s^2$，则：
$$\dot{V} = s \dot{s} = s \left( \frac{\partial s}{\partial x} (f + g u) \right) $$
代入控制律，若设计使 $\dot{V} \leq -\eta |s|$（$\eta > 0$），则：
- 有限时间到达滑模面
- 到达时间 $t_r \leq |s(0)|/\eta$
14.1.5 抖振问题与缓解方法
抖振：理想滑模需要无限切换频率，实际实现中有限频率导致高频振荡。
缓解方法：
-
边界层法：用饱和函数代替符号函数
$$\text{sat}(s/\phi) = \begin{cases} \text{sign}(s) & |s| > \phi \\ s/\phi & |s| \leq \phi \end{cases} $$
-
高阶滑模：将不连续项转移到控制的高阶导数
- 超螺旋算法
- 次优算法
-
观测器-based方法：用观测器估计不确定性，减小切换增益
14.1.6 例子：倒立摆滑模控制
模型：
$$\ddot{\theta} = \sin\theta + u + d(t) $$
其中 $d(t)$ 是扰动，$|d(t)| \leq D$。
设计：
- 滑模面：$s = \dot{\theta} + \lambda \theta$
- 控制律：$u = -\sin\theta - \lambda \dot{\theta} - k \cdot \text{sign}(s)$
- 取 $k > D$，则 $\dot{V} \leq - (k - D)|s| < 0$
14.2 自适应控制（Adaptive Control）
14.2.1 自适应控制的基本思想
当系统参数未知或缓慢变化时，自适应控制在线估计参数并调整控制器。
两种主要方法：
- 模型参考自适应控制（MRAC）：使闭环系统响应匹配理想参考模型
- 自校正调节器（STR）：在线辨识系统模型，基于辨识结果设计控制器
14.2.2 模型参考自适应控制（MRAC）
结构：
1 | 参考模型 ──→ ym |
设计目标：使跟踪误差 $e = y - y_m \to 0$。
MIT规则（梯度法）：
$$\dot{\theta} = -\gamma e \frac{\partial e}{\partial \theta} $$
李雅普诺夫设计：
- 构造增广李雅普诺夫函数 $V(e, \tilde{\theta})$
- 设计自适应律使 $\dot{V}$ 负定
14.2.3 例子：参数未知的一阶系统
系统：
$$\dot{y} = a y + b u, \quad a, b \text{ 未知} $$
参考模型：
$$\dot{y}_m = -a_m y_m + b_m r, \quad a_m > 0 $$
控制器：
$$u = \theta_1 r + \theta_2 y $$
期望参数：$\theta_1^* = b_m/b$，$\theta_2^* = (a_m - a)/b$
误差动态：
$$\dot{e} = -a_m e + b[(\theta_1 - \theta_1^*) r + (\theta_2 - \theta_2^*) y] $$
自适应律（李雅普诺夫设计）：
$$\begin{aligned} \dot{\theta}_1 &= -\gamma_1 e r \\ \dot{\theta}_2 &= -\gamma_2 e y \end{aligned} $$
取 $V = e^2 + \frac{b}{\gamma_1} (\theta_1 - \theta_1^*)^2 + \frac{b}{\gamma_2} (\theta_2 - \theta_2^*)^2$，则 $\dot{V} = -2a_m e^2 \leq 0$。
14.2.4 自校正调节器（STR）
两步法：
- 在线辨识：用递推最小二乘等方法估计系统参数
- 控制器设计：基于估计参数设计控制器（如极点配置、LQR）
分离原理（近似）：
- 当参数估计收敛时，控制器趋近于真实系统的最优控制器
- 但需保证"持续激励"条件
14.2.5 自适应控制的稳定性问题
潜在问题：
- 参数漂移（无持续激励时）
- 与未建模动态的相互作用
- 可能激发高频不稳定
解决方法：
- 死区：当误差很小时停止自适应
- σ-修正：在自适应律中加入阻尼项
- 投影：将参数限制在已知区域内
14.3 鲁棒自适应控制
14.3.1 为什么要结合？
- 自适应控制：处理参数不确定性
- 鲁棒控制：处理非参数不确定性（未建模动态、扰动）
- 结合：取长补短，处理更广泛的不确定性
14.3.2 鲁棒自适应律
σ-修正：
$$\dot{\theta} = -\gamma e \phi - \sigma \theta $$
其中 $\sigma > 0$ 防止参数漂移。
死区修正：
$$\dot{\theta} = \begin{cases} -\gamma e \phi & |e| > \Delta \\ 0 & |e| \leq \Delta \end{cases} $$
投影修正：
$$\dot{\theta} = \text{Proj}(\theta, -\gamma e \phi) $$
确保 $\theta$ 保持在已知紧集内。
14.3.3 鲁棒模型参考自适应
结合滑模控制和自适应控制：
- 用自适应估计参数
- 用滑模项处理残差和扰动
14.4 其他鲁棒非线性控制方法
14.4.1 反步法与鲁棒控制结合
引入非线性阻尼项处理不确定性：
$$u = \alpha(x) - \kappa(x) \frac{\partial V}{\partial x} g(x) $$
其中 $\kappa(x)$ 足够大以克服不确定性。
14.4.2 非线性 $H_\infty$ 控制
求解 Hamilton-Jacobi-Isaacs 方程：
$$\frac{\partial V}{\partial x} f(x) + \frac{1}{2\gamma^2} \frac{\partial V}{\partial x} g_1(x) g_1^T(x) \frac{\partial V}{\partial x}^T - \frac{1}{2} \frac{\partial V}{\partial x} g_2(x) R^{-1} g_2^T(x) \frac{\partial V}{\partial x}^T + \frac{1}{2} h^T(x) h(x) = 0 $$
14.4.3 增益调度
将非线性系统沿工作点线性化，设计线性控制器族，根据工作点在线插值。
优点：工程实用，有成熟理论
缺点：需保证切换稳定性，无理论保证
小结：非线性控制方法比较
| 方法 | 优点 | 缺点 | 适用场景 |
|---|---|---|---|
| 李雅普诺夫设计 | 理论基础强，保证稳定性 | 构造函数困难 | 有物理能量函数的系统 |
| 反步法 | 系统化步骤，适用于下三角系统 | 需解析模型，复杂度随阶数增加 | 严格反馈系统 |
| 反馈线性化 | 精确线性化，可用线性方法 | 需精确模型，零动态需稳定 | 相对阶明确的系统 |
| 滑模控制 | 强鲁棒性，对不确定性和扰动不敏感 | 抖振问题 | 不确定系统、快速系统 |
| 自适应控制 | 处理参数不确定性 | 需持续激励，可能不稳定 | 参数慢变系统 |
| 鲁棒控制 | 处理非参数不确定性 | 可能保守 | 不确定性有界系统 |
| 增益调度 | 工程实用，直观 | 缺乏理论保证 | 慢变工作点系统 |
说些什么吧！